三。初学几何证明需要注意的三个务必几何几何，想破脑壳。这句话是数学学习中的谑言，说明了几何是学生学习数学的痛点之一。学生进入初中后，从七年级上学期起就开始学习几何，接触几何证明，这一时期是入门打基础的阶段，需要注意些什么呢？1.务必重视并熟练掌握基础知识七年级上册的一些基本概念：角，相交线，平行线，直线，线段，射线，垂线，对顶角，邻补角，互余，互补，同位角，内错角，同旁内角等；七年级上册的一些常用定理，公理：直线公理，垂线段最短公理，平行公理及推论，平行线的判定及性质公理等。
2.务必掌握三种语言之间的转换数学其实也是一种语言。通常所说的数学语言，包括自然语言，图形语言，符号语言三种。看图说话，由题意画图，把文字语句用符号表示，说的这三种语言之间的转换。3.务必重视并逐步掌握规范的书写格式由小学数学的列式计算得结果，过渡到几何证明逻辑推理过程书写，这是初中数学学习的一道坎，要顺利跨过这道坎，必须迈好第一步，一步一个脚印，步步有据，打牢基础，建议初期的书写每一步都要注明理由（见本文例2书写示范）。
数学上有哪些令人惊诧的定理？
要细数数学中最令人惊诧，最反直觉的部分，那莫过于“无穷”相关的概念和讨论。什么是无穷？和宇宙中的原子数一样多算不算无穷？无穷大和无穷大，哪个无穷大更大？在没有学过数学的人看来，无穷是模糊的，是难以理性感知的。但是数学上，关于“无穷”这个概念，是有一些特别的，可能违反直觉的研究的。其中最有代表性的，莫过于测度论。
从最简单的一个问题说起：整数和偶数，哪个更多？整数有无穷多个，偶数也是无穷多个啊！无穷和无穷，哪个比较大？如果你没有学过测度论，仅凭直觉，那么这个问题看似很简单：偶数只是整数的一半啊！苹果的一半比苹果小，这不是很符合常理吗？但是注意！苹果是有限大的，是有穷而非无穷的！用有穷的直觉来判断无穷的命题，是会出问题的啊同学！事实上，在测度论的定义下解决这个问题，关键词就一个：一一对应！对于任意一个偶数N，比如2，我们总能写出一个整数N/2和它对应，比如1。
偶数：0,2,4,6,8,10......整数：0,1,2,3,4,5......偶数可以一直写下去，整数也可以一直写下去，因为二者总是一一对应的！不论写出哪一个整数，总能写出一个偶数与之对应；不论写出多么奇奇怪怪，多么大，多么正，多么负，的一个偶数，总有一个整数与之对应。所以说，整数和偶数一样多！整数包括所有偶数，还有偶数中所没有的奇数，但是整数和偶数一样多，算不算令人惊诧呢？同理，还会有整数和自然数一样多，自然数和非负整数一样多，自然数和个位上是7的整数一样多，等等。
够不够令人惊诧呢？但是还有更加令人惊诧的，那就是，整数和有理数也一样多！有理数就是所有可以表示成一个整数a和一个正整数b的比的数。那么，我就就可以把所有的a和b以特定方式列出来，然后想办法构建自然数和有理数的对应关系！就像这样：这样，对于任意一个正有理数a/b，我们都可以给他一个唯一的自然数编号，这个编号在a*b 和 (a 1)*(b 1)之间~而对于任意一个自然数，我们也都能给出这个自然数对应的唯一一个有理数。
于是乎！我们在自然数和有理数之间建立了一一对应的关系，所以自然数和有理数一样多！那么实数呢？实数能不能和自然数之间构建这样一种一一对应的关系呢？答案是不能的。我们用反证法，先假设可以，那么我们就可以写出一个数列，数列包含了每一个实数a1 = 0.65935.....a2 = 0.031946......a3 = 0.946315..............但不管我们怎么写，我们总可以写出一个实数，它的第一位和a1的第一位不一样，第二位和a2的第二位不一样......这样，这个实数就会和上面这个数列的每一项都不一样，也就是说会有实数没有被列入这个数列！也就是说，我们无法构建这样一个一一对应的关系，实数比自然数多！同样道理，还有，1cm线段上的点，和2cm线段上的点，哪个更多？我们可以构建一个上图一样的一一对应关系，对于任意一个黑线上的点，总能找到一个红线上的点与之对应；对于任意一个红线上的点，总能找到一个黑线上的点与之对应！所以，红线上点的个数和黑线上点的个数，是一样多的！这，够不够让人诧异呢？。
